Jedes Dreieck ist gleichseitig

Das ist eine kühne Aussage, aber man kann sie beweisen! Bei dieser Beweisführung wollen wir in zwei Schritten vorgehen: Zunächst zeigen wir, dass jedes Dreieck gleichschenklig ist, und leiten daraus dann die Gleichseitigkeit ab.

Beweisschritt 1: Jedes Dreieck ist gleichschenklig

Wir beginnen mit einem beliebigen Dreieck, geben die Eckpunkte mit den Großbuchstaben A, B, C, die jeweils gegenüberliegenden Seiten mit den Kleinbuchstaben a, b, c und den Innenwinkel an.

Nun zeichnen wir die Winkelhalbierende von und die Mittelsenkrechte auf die gegenüberliegende Seite a ein. Diese beiden Linien treffen sich in ihrem Schnittpunkt S.

Wir ziehen die Verbindungslinien vom Schnittpunkt S zu den Eckpunkten B und C, und betrachten die dadurch entstandenen, grün eingefärbten Teildreiecke BMS und CMS. Diese beiden Teildreiecke sind kongruent (deckungsgleich), denn sie haben die gemeinsame Mittelsenkrechte, die gleichlangen Seiten und den dazwischenliegenden rechten Winkel. Mit anderen Worten: Das eine Teildreieck kann durch Spiegelung an der Mittelsenkrechten in das andere überführt werden. Aus dieser Kongruenz folgt, dass auch die Seiten BS und CS gleichlang sind.

Jetzt ziehen wir vom Punkt S aus jeweils eine senkrechte Linie auf die Seiten b und c, und benennen die Schnittpunkte mit X und Y. Wir betrachten die dadurch entstandenen, lila eingefärbten Teildreiecke ASX und ASY. Diese beiden Teildreiecke sind ebenfalls kongruent, denn sie haben als gemeinsame Seite die Winkelhalbierende von und die daran anliegenden, jeweils gleichgroßen Winkel und 90°, oder anders beschrieben: Ein Teildreieck geht durch die Spiegelung an der Winkelhalbierenden in das andere über. Aus dieser Kongruenz folgt, dass auch die Seiten SX und SY sowie AX und AY jeweils gleichlang sind. (weiter >>)